Question

已知函數(shù)f（x）=（2alnx）+2ax-x²．       
（1）試確定函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）設a＞0，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有唯一零點，試求a的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）求導數(shù)，再分類討論，根據(jù)導數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）x=x₁為極大值，因為只有一個零點，所以f（x₁）=0，再確定g（x）=2lnx+x-1是單調(diào)增的，所以至多只有一個零點，即可得出結論．

解答： 解：（1）f'（x）=

2

x

（x²-ax-a）
由f'（x）=0，得x²-ax-a=0，
所以△=a²+4a=a（a+4）
討論a：
當-4≤a≤0時，△≤0，此時f'（x）≤0，因此函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)減；
當a＞0時，f（x）在x＞0只有一個極值點x₁=

a+ △

2

；
當x＞x₁時，f（x）單調(diào)減；當0＜x＜x₁時，f（x）單調(diào)增．
a＜-4時，f（x）在x＞0無極值點，x＞0時，f（x）單調(diào)減．
（2）由上，x=x₁為極大值，因為只有一個零點，所以f（x₁）=0
而x₁滿足x₁²=ax₁+af（x₁）=2alnx₁+2ax₁-ax₁-a=a（2lnx₁+x₁-1）=0得2lnx₁+x₁-1=0
因為g（x）=2lnx+x-1是單調(diào)增的，所以至多只有一個零點，
而g（1）=0，所以有x₁=1代入x₁²-ax₁-a=0，得1-a-a=0，得a=

1

2

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．