Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四邊形AB⊥CD，BC∥AD且BC=4，點M為PC中點．
（1）求證：平面ADM⊥平面PBC；
（2）求點P到平面ADM的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）取PB中點N，連結MN、AN，證明四邊形ADMN為平行四邊形，AN⊥平面PBC，可得平面ADM⊥平面PBC；
（2）PN⊥平面ADM，即點P到平面ADM的距離為PN，即可求點P到平面ADM的距離．

解答： 解：（1）取PB中點N，連結MN、AN，則
∵M是PC中點，∴MN∥BC，MN=

1

2

BC=2，
又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，
∴四邊形ADMN為平行四邊形，
∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，
∵AP=AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，
∵AN?平面ADM，
∴平面ADM⊥平面PBC．

（2）由（1）知，PN⊥AN，PN⊥AD，
∴PN⊥平面ADM，即點P到平面ADM的距離為PN，
在Rt△PAB中，由PA=AB=2，得PB=2

2

，
∴PN=

1

2

PB=

2

．

點評：本小題主要考查立體幾何的相關知識，具體涉及到線面以及面面的垂直關系、點到平面的距離等問題．