Question

盒內(nèi)有大小相同的10個球，其中3個紅色球，3個白色球，4個黑色球．
（1）現(xiàn)從該盒內(nèi)任取3個球，規(guī)定取出1個紅色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得-1分，設三個球得分之和ξ，求ξ的分布列與數(shù)學期望；
（2）甲、乙兩人做摸球游戲，設甲從該盒內(nèi)摸到黑球的概率是

1

2

，已從該盒內(nèi)摸到黑球的概率是

2

3

，甲，乙兩人各摸球3次，求兩人共摸中2次黑球的概率．

Answer 1

考點：互斥事件的概率加法公式,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由題意可得ξ的取值為：3，2，1，0，-1，-2，-3，求得ξ取每個值的概率，可得ξ的分布列與數(shù)學期望．
（2）分別求得甲摸中2次黑球的概率、乙摸中2次黑球的概率、甲、乙二人各摸得一次黑球的概率，相加，即得所求．

解答： 解：（1）由題意可得ξ的取值為：3，2，1，0，-1，-2，-3，
且ξ取每個值的概率分別為：P（ξ=3）=

C 3 3

C 3 10

=

1

120

，P（ξ=2）=

C 2 3 •C 1 3

C 3 10

=

9

120

，P（ξ=1）=

C 1 3 •C 2 3 +C 2 3 •C 1 4

C 3 10

=

21

120

，
P（ξ=0）=

C 3 3 +C 1 3 •C 1 3 •C 1 4

C 3 10

=

37

120

，P（ξ=-1）=

C 1 4 •C 2 3 +C 2 4 •C 1 3

C 3 10

=

30

120

，P（ξ=-2）=

C 2 4 •C 1 3

C 3 10

=

18

120

，P（ξ=-3）=

C 3 4

C 3 10

=

4

120

，
∴ξ的分布列為：

ξ	3	2	1	0	-1	-2	-3
P	1 120	9 120	21 120	37 120	30 120	18 120	4 120

ξ的數(shù)學期望Eξ=3×

1

120

+2×

9

120

+1×

21

120

+0+（-1）×

30

120

+（-2）×

18

120

+（-3）×

4

120

=-

3

10

．
（2）甲摸中2次黑球的概率為

C

2 3

•(

1

2

)2•

1

2

•

C

3 3

•(

1

3

)3=

1

72

，乙摸中2次黑球的概率為

C

3 3

•(

1

2

)3•

C

2 3

•(

2

3

)2•

1

3

=

4

72

，
甲、乙二人各摸得一次黑球的概率為

C

1 3

•

1

2

•(

1

2

)2•

C

1 3

•

2

3

•(

1

3

)2=

6

72

，
故兩人共摸中2次黑球的概率為

1

72

+

4

72

+

6

72

=

11

72

．

點評：本題考查相互獨立事件的概率乘法公式及n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率公式，互斥事件的概率加法公式，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．