Question

【題目】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且，

(I) 求點(diǎn)的坐標(biāo)；

(II)以為圓心的動(dòng)圓與軸分別交于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)分別交拋物線于兩點(diǎn)；

①求直線的斜率；

②延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，若，求的值.

Answer 1

【答案】(I) (II)①②

【解析】

(I)由拋物線的定義，可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入方程中，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)；

(II) ①設(shè)直線SA的斜率為k，可設(shè)出SA直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由題意可知：SA=SB，因此可求出直線SB的斜率，可設(shè)出直線SB的方程，同理，可以求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，代入斜率公式，求出直線的斜率；

②設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，由，可得到，從而求出斜率k，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，同理求出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用余弦定理求出的值，也就求出的值。

如下圖所示：

(I)設(shè)，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為由拋物線的定義可知，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）；

(II) ①設(shè)直線SA的直線方程為：與拋物線方程聯(lián)立：

，設(shè)，，

所以，因?yàn)橐?/span>為圓心的動(dòng)圓與軸分別交于兩點(diǎn)，所以SA=SB,因此直線SB的斜率為-k,同理可求出,；

②設(shè)， ,

，

則直線SA的方程為，A點(diǎn)坐標(biāo)為，同理B點(diǎn)坐標(biāo)為，,

，所以