Question

在幾何體ABCDE中，AB=AD=BC=CD=2,,且平面,平面平面.

（1）當(dāng)平面時(shí)，求的長；

（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的大小.

Answer 1

（1）;（2）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)AE=a，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），取BD中點(diǎn)T，連CT，AT，求出平面CDE的一個(gè)法向量為，根據(jù)AB||平面CDE可得由此可求出a值，即AE長；（2）轉(zhuǎn)化為求兩平面法向量的夾角，由（1）易知平面CDE的一個(gè)法向量，可證平面AEC的一個(gè)法向量利用向量夾角公式即可求得，注意二面角與向量夾角的關(guān)系；

試題解析：（1）設(shè)，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,0,0）,B（2,0,0）,D（0,2,0）,E（0,0,a）,

取BD的中點(diǎn)T，連接CT,AT,則CTBD.

又平面BCD平面ABD,

所以CT平面BCD,

所以CT//AE.

AB=AD=BC=CD=2,,

所以CDCB,,

C（1,1,）,

設(shè)平面CDE的法向量為,

則有, .

AB//平面CDE,

即AE的長為.

（2）連接AC,當(dāng)時(shí),由（1）可知平面CDE的一個(gè)法向量，

又BDAT,BDAE,BD平面ACE,

平面ACE的一個(gè)法向量

二面角的大小為.

考點(diǎn)：二面角及其求法，空間向量求平面夾角