Question

已知函數(shù)f（x）=

3

cos2

ωx

2

+

1

2

asinωx-

3

2

a（ω＞0，a＞0）在一個周期內的圖象如圖所示，其中點A為圖象上的最高點，點B，C為圖象與x軸的兩個相鄰交點，且△ABC是邊長為4的正三角形．
（Ⅰ）求ω與a的值；
（Ⅱ）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀-1）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）首先通過三角函數(shù)的恒等變換求出函數(shù)的正弦型函數(shù)的形式，進一步利用函數(shù)的圖象求出函數(shù)的周期和最值，進一步確定函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）利用上步結論，對函數(shù)的角進行恒等變換，進一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值，最后利用函數(shù)的值求出最終結果．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

cos2

ωx

2

+

1

2

asinωx-

3

2

a
=asin（ωx+

π

3

）
由函數(shù)的圖象得：BC=4=

T

2

則：T=8
所以：ω=

2π

8

=

π

4

所以：a=BAsin

π

3

=2

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=2

3

sin(

π

4

x+

π

3

)
所以：f(x0)=2

3

sin(

π

4

x0+

π

3

)=

8 3

5

解得：sin(

π

4

x0+

π

3

)=

4

5

x0∈(-

10

3

，

2

3

)
所以：

π

4

x0+

π

3

∈(-

π

2

，

π

2

)
所以：cos(

π

4

x0+

π

3

)=

3

5

f（x₀-1）=2

3

sin[(

π

4

x0+

π

3

-

π

4

)
=2

3

（

4

5

•

2

2

-

3

5

•

2

2

）
=

6

5

．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的關系式，利用函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域，進一步求函數(shù)的值．屬于基礎題型．