Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x²+a，x∈R的圖象在點(diǎn)x=0處的切線為y=bx．（e≈2.71828）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（理科）（2）若k∈Z，且f（x）+

1

2

（3x²-5x-2k）≥0對任意x∈R恒成立，求k的最大值．
（文科）（2）若f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=e^x-x²+a，x∈R的圖象在點(diǎn)x=0處的切線為y=bx，得

f(0)=1+a=0 f′(0)=1=b

，求得a，b后可得函數(shù)解析式；
（理科）（2）把不等式f（x）+

1

2

（3x²-5x-2k）≥0對任意x∈R恒成立轉(zhuǎn)化為k≤ex+

1

2

x2-

5

2

x-1對任意x∈R恒成立．構(gòu)造函數(shù)令h(x)=ex+

1

2

x2-

5

2

x-1后利用導(dǎo)數(shù)求其最小值得答案；
（文科）（2）把f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立轉(zhuǎn)化為

f(x)

x

＞k對任意的x∈（0，+∞）恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g(x)=

f(x)

x

，x＞0的最小值得答案．

解答： 解：（1）f（x）=e^x-x²+a，f′（x）=e^x-2x，
由已知

f(0)=1+a=0 f′(0)=1=b

，得a=-1，b=1，∴f（x）=e^x-x²-1；
（理科）（2）f（x）+

1

2

（3x²-5x-2k）≥0對任意x∈R恒成立，
?ex=

1

2

x2-

5

2

x-1-k≥0對任意x∈R恒成立，
?k≤ex+

1

2

x2-

5

2

x-1對任意x∈R恒成立．
令h(x)=ex+

1

2

x2-

5

2

x-1，h′(x)=ex+x-

5

2

，易知h′（x）在R上單調(diào)遞增，
又h′(0)=-

3

2

＜0，h′(1)=e-

3

2

＞0，h′(

1

2

)=e

1

2

-2＜0，
h′(

3

4

)=e

3

4

-

7

4

＞2.56

3

4

-

7

4

=1．6

3

2

-

7

4

=

512 125

-

7

4

＞2-

7

4

=

1

4

＞0，
∴存在唯一的x0∈(

1

2

，

3

4

)，使得h′（x₀）=0，
且當(dāng)x∈（-∞，x₀）時(shí)，h′（x）0．
即h（x）在（-∞，x₀）單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
h(x)min=h(x0)=ex0+

1

2

x02-

5

2

x0-1，又h′（x₀）=0，即ex0+x0-

5

2

=0，ex0=

5

2

-x0．
∴h(x0)=

5

2

-x0+

1

2

x02-

5

2

x0-1=

1

2

(x02-7x0+3)，
∵x0∈(

1

2

，

3

4

)，∴h(x0)∈(-

27

32

，-

1

8

)．
k≤ex=

1

2

x2-

5

2

x-1對任意x∈R恒成立?k≤h（x₀），
又k∈Z，∴k_max=-1．
（文科）（2）f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立?

f(x)

x

＞k對任意的x∈（0，+∞）恒成立，
令g(x)=

f(x)

x

，x＞0，
∴g′(x)=

xf′(x)-f(x)

x2

=

x(ex-2x)-(ex-x2-1)

x2

=

(x-1)(ex-x-1)

x2

．
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，e^x-x-1＞0恒成立，
令g′（x）＞0，得x＞1；g′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴g（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．g（x）_min=g（1）=e-2．
∴k＜g（x）_min=g（1）=e-2，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，e-2）．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，主要考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和函數(shù)構(gòu)造法，掌握不等式恒成立的條件是解答該題的關(guān)鍵，是壓軸題．