Question

已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)。 （1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若對一切的實數(shù)，有成立，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時，在曲線上是否存在兩點，使得曲線在 兩點處的切線均與直線交于同一點？若存在，求出交點縱坐標(biāo)的最大值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）當(dāng)時，的減區(qū)間為;當(dāng)時，的減區(qū)間為； 當(dāng)時，無減區(qū)間．（2） （3）存在，且交點縱坐標(biāo)的最大值為10．

【解析】

試題分析：（1）首先對函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（2）由題意可知恒成立，根據(jù)絕對值的幾何意義，分類去掉絕對值符號，然后再根據(jù)基本不等式求解即可．

（3）設(shè)切線與直線的公共點為P（2，t），當(dāng)時，則，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知點A為切點的切線的斜率k=，切線方程為．把點P（2，t）代入切線方程中，整理得，同理可得，設(shè)，則原問題等價于函數(shù)至少有兩個不同的零點．求，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值，欲使至少有兩個不同的零點，則需滿足極大值g（0）≥0且極小值g（2）≤0，解出t即可．

（1）當(dāng)時，的減區(qū)間為；

當(dāng)時，的減區(qū)間為； 當(dāng)時，無減區(qū)間。 4分

（2）由條件得：，

當(dāng)時，得，即恒成立，因為

（當(dāng)時等號成立)，所以，即; 6分

當(dāng)時，得，即恒成立，因為，（當(dāng)時等號成立)，所以，即;

當(dāng)時，;

綜上所述，的取值范圍是 9分

（3）設(shè)切線與直線的公共點為，當(dāng)時，，

則，因此以點為切點的切線方程為．

因為點在切線上，所以，即．

同理可得方程． 11分

設(shè)，則原問題等價于函數(shù)至少有兩個不同的零點．

因為,

當(dāng)或時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，遞減。

因此，在處取得極大值，在處取得極小值

若要滿足至少有兩個不同的零點，則需滿足，解得

故存在，且交點縱坐標(biāo)的最大值為10．

考點：1．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2．導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用．