Question

已知數(shù)列a_n，b_n，滿足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1（b_n≠0）．
（I）求證數(shù)列{

1

bn

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（II）令C_n=b_nb_n+1，S_n為數(shù)列C_n的前n項(xiàng)和，求證：S_n＜1．

Answer 1

分析：（1）將b_n=a_n-1代入2a_n=1+a_na_n+1，可得b_n的遞推關(guān)系式，整理變形可得

1

bn+1

-

1

bn

=1，由等差數(shù)列的定義可得 {

1

bn

}為等差數(shù)列，故可求其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出a_n．
（2）根據(jù)（1）知C_n=b_nb_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)法求得數(shù)列 {C_n}的前n項(xiàng)的和，即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）由b_n=a_n-1，得a_n=b_n+1，代入2a_n=1+a_na_n+1，
得2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
∴b_nb_n+1+b_n+1-b_n=0，從而有

1

bn+1

-

1

bn

=1，
∵b₁=a₁-1=2-1=1，
∴{

1

bn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

bn

=n，即 bn=

1

n

；
∴a_n=

1

n

+1=

n+1

n

，
（2）由題意可知：C_n=b_nb_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=C_n+C_n+C_n+…+C_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．
即S_n＜1．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．本題主要考查了等比差數(shù)列的定義、裂項(xiàng)法求和問題，和不等式與數(shù)列的綜合．考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．