已知數(shù)列an，bn，xn滿(mǎn)足a1=b1=2，an+1=bn+1+4bn，bn+1=an+bn，xn=
an
bn
．
（1）填空：當(dāng)n≥2時(shí)，xn
 
1．（填＞，=，＜中一個(gè)）
（2）求證：xn+1與xn中一個(gè)比
5
大，另一個(gè)比
5
小，并指出xn+1與xn中哪一個(gè)更接近于
5
．
（3）若數(shù)列{|xn-
5
|}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn＜
5
+1．
分析：（1）將xn=
an
bn
中分子an進(jìn)行代換，再與1比較．
（2）考查xn+1-
5
，xn-
5
兩個(gè)式子的積或商的符號(hào)為負(fù)，即可得證．xn+1與xn中哪一個(gè)更接近于
5
，可用與
5
的差的絕對(duì)值去衡量，絕對(duì)值小，表明更接近．
（3）有（1）（2）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步應(yīng)用{|xn-
5
|}的遞推關(guān)系，逐項(xiàng)放縮，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列的和，視情況可再繼續(xù)轉(zhuǎn)化化簡(jiǎn)，直至得證．
解答：解：（1）xn=
an
bn
=
bn+4bn-1
bn
=1+4
bn-1
bn
＞1（n≥2）
（2）∵an+1=bn+1+4bn，bn+1=an+bn，由x1=
a1
b1
=1，知x2＞1，x3＞1，，xn＞1
∴
an+1
bn+1
=1+
4bn
bn+1
，
bn+1
bn
=
an
bn
+1，即xn+1=1+
4
xn+1
．
xn+1-
5
=
(1-
5
)(xn-
5
)
xn+1
，
xn+1-
5
xn-
5
=
1-
5
xn+1
＜0
所以xn+1與xn中一個(gè)比
5
大，一個(gè)比
5
小
又∵
|xn+1-
5
|
|xn-
5
|
=
5
-1
|xn+1|
＜
5
-1
2
＜1∴xn+1更接近
5

（3）由（2）知，|xn+1-
5
|＜
5
-1
2
|xn-
5
|＜…＜(
5
-1
2
)n|x1-
5
|
∴Sn＜|x1-
5
|[1+
5
-1
2
+(
5
-1
2
)2+…+(
5
-1
2
)n-1]
=(
5
-1)
1-(
5
-1
2
)n
1-
5
-1
2
＜
2(
5
-1)
3-
5
=
5
+1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了比較大小的基本方法，等比數(shù)列求和，放縮法證明不等式，要求具有一定的分析解決問(wèn)題的能力，化簡(jiǎn)計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列an、bn中，對(duì)任何正整數(shù)n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2．
（1）若數(shù)列an是首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列bn是等比數(shù)列，數(shù)列an是否是等差數(shù)列，若是請(qǐng)求出通項(xiàng)公式，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，求證：
n
i=1
1
aibi
＜
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列an和bn滿(mǎn)足：a1=λ，an+1=
23
an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．
（1）試判斷數(shù)列an是否可能為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（2）求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)a＞0，Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，如果對(duì)于任意正整數(shù)n，總存在實(shí)數(shù)λ，使得不等式a＜Sn＜a+1成立，求正數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列an，bn，cn滿(mǎn)足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)
（1）設(shè)cn=3n+6，an是公差為3的等差數(shù)列．當(dāng)b1=1時(shí)，求b2，b3的值；
（2）設(shè)cn=n3，an=n2-8n求正整數(shù)k，使得一切n∈N*均有bn≥bk．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列an，bn，滿(mǎn)足a1=2，2an=1+anan+1，bn=an-1（bn≠0）．
（I）求證數(shù)列{
1bn
}是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（II）令Cn=bnbn+1，Sn為數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和，求證：Sn＜1．

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