Question

已知f（x）=2cos（π-x）cos（

π

2

+x）+sin2xtanx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）運用二倍角的正弦和余弦公式，以及兩角差的余弦公式，將f（x）化簡成f（x）=1+

2

sin（2x-

π

4

），即可求出周期；
（2）根據(jù)函數(shù)的定義域和化簡得到的函數(shù)解析式，以及正弦函數(shù)的值域，即可得到f（x）的值域．

解答： 解：（1）由條件得，函數(shù)的定義域是{x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}，
∵f（x）=2（-cosx）（-sinx）+2sinxcosx•

sinx

cosx

=2sinxcosx+2sin²x=sin2x+1-cos2x=1+

2

sin（2x-

π

4

）
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；
（2）當x=kπ+

π

2

，k∈Z，時，f（x）=

2

•

2

2

=1=2，
∴在x≠kπ+

π

2

，k∈Z，下，1-

2

≤f（x）≤1+

2

，且f（x）≠2，
∴f（x）的值域為[1-

2

，2）∪（2，1+

2

]．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，同時考查三角函數(shù)的性質(zhì)，注意函數(shù)的定義域，記熟三角公式是迅速解題的關(guān)鍵．