Question

已知函數(shù)f（x）對一切m、n∈R都有：f（m+n）=f（m）+f（n）-2，并且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞2．
（1）判定并證明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）若f（3）=5，求不等式f（a²-2a-2）＜3的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，再由x＞0時(shí)f（x）＞2，令f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]，由條件即可得到f（x₁）＜f（x₂），由單調(diào)性的定義，即可判斷；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，首先找出f（1）=3，然后利用單調(diào)性去掉抽象函數(shù)，解二次不等式即可．

解答： 解：（1）f（x）在R上是增函數(shù)．
理由如下：設(shè)x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞2
∴f（x₂-x₁）＞2即f（x₂-x₁）-2＞0，
而函數(shù)f（x）對一切m、n∈R都有：f（m+n）=f（m）+f（n）-2，
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＞f（x₁）
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）由于f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2，
=f（1+1）+f（1）-2=3f（1）-4
∵f（3）=5，
∴f（1）=3，
∵f（a²-2a-2）＜3，即有f（a²-2a-2）＜f（1），
由（1）知，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
∴a²-2a-2＜1即-1＜a＜3
∴不等式f（a²-2a-2）＜3的解集是（-1，3）．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，注意定義的運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．