Question

請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐（如圖所示）．試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O₁的距離為多少時(shí)，帳篷的體積為16

3

？

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,組合幾何體的面積、體積問題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)OO₁為xm，則1＜x＜4，設(shè)題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為

32-(x-1)2

=

8+2x-x2

，從而帳篷的體積為V（x）=

2 3

2

(8+2x-x2)[

1

3

(x-1)+1]=

3

2

(16+12x-x3)，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當(dāng)OO₁為2m時(shí)，帳逢的體積最大，為16

3

m³．

解答： 解：設(shè)OO₁為xm，則1＜x＜4，
設(shè)題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為（單位：m）

32-(x-1)2

=

8+2x-x2

，
于是底面正六邊形的面積為（單位：m²）
6•

3

4

•(

8+2x-x2

)2=

2 3

2

(8+2x-x2)，
帳篷的體積為（單位：m³）
V（x）=

2 3

2

(8+2x-x2)[

1

3

(x-1)+1]=

3

2

(16+12x-x3)，
求導(dǎo)數(shù)，得V′(x)=

3

2

(12-3x2)，
令V′（x）=0，解得x=-2（不合題意，舍去），x=2
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，V′（x）＞0，V（x）為增函數(shù)，
當(dāng)2＜x＜4時(shí)，V′（x）＜0，V（x）為減函數(shù)
所以當(dāng)x=2時(shí)，V（x）最大，
此時(shí)V（x）=

3

2

(16+12x-x3)=16

3

．
故當(dāng)OO₁為2m時(shí)，帳逢的體積最大，為16

3

m³．

點(diǎn)評(píng)：本題考查當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O₁的距離為多少時(shí)，帳篷的體積為16

3

的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意幾何體體積的求法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．