Question

15．（1班、3班做）已知函數(shù)f（x）=-$\frac{π}{12x}$，g（x）=xcosx-sinx，當(dāng)x∈[-3π，3π]時(shí)，方程f（x）=g（x）的根的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 8
• B． 6
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可得：函數(shù)f（x）=-$\frac{π}{12x}$，在x∈[-3π，3π]上是奇函數(shù)且是反比例函數(shù)，g（x）=xcosx-sinx，在x∈[-3π，3π]上是奇函數(shù)，則g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，可得其單調(diào)性．作出函數(shù)圖象，可得：函數(shù)f（x）與g（x）的圖象共有6個(gè)交點(diǎn)．即可得出．

解答 解：由題意可得：
函數(shù)f（x）=-$\frac{π}{12x}$，
在x∈[-3π，3π]上是奇函數(shù)且是反比例函數(shù)，
g（x）=xcosx-sinx，
在x∈[-3π，3π]上是奇函數(shù)，則g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
∴g（x）在x∈[0，π]上是減函數(shù)，在x∈[π，2π]上是增函數(shù)，
在x∈[2π，3π]上是減函數(shù)，
g（0）=0，g（π）=-π，g（2π）=2π，g（3π）=-3π，
作出函數(shù)圖象，可得：函數(shù)f（x）與g（x）的圖象共有6個(gè)交點(diǎn)．
∴方程f（x）=g（x）的根的個(gè)數(shù)是6．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、方程的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．