Question

數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為a₁、公差為d的等差數(shù)列，且a₁₆+a₁₇+a₁₈=-36，a₉=-36，其前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁及公差d．
（2）求S_n的最小值，并求出S_n取得最小值時n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)得a₁₇=-12，再由a₉=-36求出公差d，根據(jù)通項(xiàng)公式求出a₁；
（2）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出S_n，化簡后求出對稱軸方程，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和n的取值范圍，確定S_n取得最小值時n的值．

解答： 解：（1）等差數(shù)列{a_n}中，a₁₆+a₁₇+a₁₈=-36，
所以3a₁₇=-36，解得a₁₇=-12，
又a₉=-36，所以d=

a17-a9

17-9

=3，
所以a₉=a₁+8d=-36，解得a₁=-60，
（2）由（1）得，Sn=na1+

n(n-1)

2

×d
=-60n+

n(n-1)

2

×3=

3

2

n2-

123

2

n，
對稱軸n=-

- 123 2

3

=

123

6

，又n取正整數(shù)，
則當(dāng)n=20或21時，S_n取得最小值．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S_n的最小值，注意n取正整數(shù)．