Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c最小值為-1，且f（2-x）=f（2）+f（x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[2m，m+1]上單調(diào)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出f（2-x），再由恒等式的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，即可得到f（x）=ax²-2ax，再由最小值為-1，即可得到a，進(jìn)而得到解析式；
（2）求得對(duì)稱軸，討論區(qū)間和對(duì)稱軸的關(guān)系，即可得到m的范圍．

解答： 解：（1）f（2-x）=a（2-x）²+b（2-x）+c=ax²-（4a+b）x+4a+2b+c，
因?yàn)閒（2-x）=f（2）+f（x）
所以ax²-（4a+b）x+4a+2b+c=4a+2b+c+ax²+bx+c，
即有

-(4a+b)=b c=0

，即

b=-2a c=0

所以f（x）=ax²-2ax=a（x-1）²-a，
因?yàn)閒（x）=ax²+bx+c最小值為-1，所以a=1
所以f（x）=x²-2x；
（2）若f（x）在區(qū)間[2m，m+1]上單調(diào)，
所以

m+1≤1 m+1＞2m

或

2m≥1 m+1＞2m

，即m≤0或

1

2

≤m＜1
所以m的取值范圍是（-∞，0]∪[

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，注意恒等式的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．