Question

已知平行四邊形ABCD中，AB=1，E是BC邊上靠近點B的三等分點，AE⊥BD，則BC長度的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線的一般式方程與直線的垂直關系

專題：直線與圓

分析：建立坐標系，利用AB=1，AE⊥BD，可得

a2+b2

=1，k_BD•k_AE=

b

a+c

×

b

a- c 3

=-1，化簡整理即可得出．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標系．
設A（a，b），C（c，0），則E(

c

3

，0)，D（a+c，b）．
∵AB=1，AE⊥BD，
∴

a2+b2

=1，
k_BD•k_AE=

b

a+c

×

b

a- c 3

=-1，
化為a²+b²=1，b2+a2+

2

3

ac-

1

3

c2=0．
∴1+

2

3

ac-

1

3

c2=0，
∴a=

c2-3

2c

，
∵0＜a＜1，
∴0＜

c2-3

2c

＜1，c＞0．
解得

3

＜c＜3．
故答案為：（

3

，3）．

點評：本題考查了兩點之間的距離公式、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了計算能力，屬于中檔題．