Question

【題目】已知數(shù)列中，，前n項(xiàng)和為，且.

（1）求；

（2）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，試問(wèn)是否存在正整數(shù)p，q（其中），使成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組（p，q）；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；（3）存在唯一正整數(shù)數(shù)對(duì)，，，使，，成等比數(shù)列；詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）令，即可求；

（2）根據(jù)等差數(shù)列的等差中項(xiàng)法即可證明數(shù)列為等差數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式；

（3）根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，分類討論，通過(guò)數(shù)列的單調(diào)性求出數(shù)列最值，結(jié)合題意判斷求解，即可得到結(jié)論．

（1）令，則.

（2）由，即，①

得.②

②-①，得.③

于是，.④

③+④，得，即.

又，，，

所以，數(shù)列是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

所以，.

（3）假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組（其中），使成等比數(shù)列，

則成等差數(shù)列，于是.

時(shí)，，故數(shù)列為遞減數(shù)列，

時(shí)，，故數(shù)列為遞減數(shù)列，

，，即時(shí)，.

又當(dāng)時(shí)，，故無(wú)正整數(shù)q使得成立.

綜上得，存在唯一正整數(shù)數(shù)對(duì)，，，使，，成等比數(shù)列.