Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-

1

x

，對任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• B、（1，+∞）
• C、（-∞，-1）
• D、不能確定

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將已知代入條件，將函數(shù)原式化簡成2mx2＞m+

1

m

恒成立，x＞1時．然后討論m的符號將m分離出來，然后研究函數(shù)的最值．

解答： 解：由f（mx）+mf（x）＞0得mx-

1

mx

+mx-

m

x

＞0，對任意x∈[1，+∞）恒成立．
整理得2mx＞(m+

1

m

)

1

x

恒成立，即2mx2＞m+

1

m

恒成立．
顯然m≠0，
①當m＞0時，2x2＞1+

1

m2

，顯然當x=1時y=2x²最小為2，即1+

1

m2

＜2，
解得m＞1或m＜-1．所以m＞1符合題意．
②當m＜0時，1+

1

m2

＞2x²，此時y=2x²無最大值，所以不成立．
綜上，所求實數(shù)m的范圍是m＞1．
故選B．

點評：本題考查了不等式恒成立問題的思路，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，能分離參數(shù)的盡量分離參數(shù)．