Question

如圖所示，某住宅小區(qū)有一個(gè)矩形休閑廣場(chǎng)ABCD，其中AB=40 米，BC=30 米，根據(jù)小區(qū)業(yè)主建議，需將其擴(kuò)大成矩形區(qū)域EFGH，要求A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)分別在矩形EFGH的四條邊（不含頂點(diǎn)）上．設(shè)∠BAE=θ，EF長(zhǎng)為y米．
（1）將y表示成θ的函數(shù)；
（2）求矩形區(qū)域EFGH的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由幾何圖形結(jié)合解直角三角形知識(shí)將y表示成θ的函數(shù)；
（2）直接由矩形面積等于長(zhǎng)乘寬列出面積關(guān)于θ的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值得答案．

解答： 解：（1）如圖，
由∠BAE=θ，∠E=90°，得∠ABE=90°-θ，
再由∠ABC=90°，得∠CBF=θ，同理∠DCG=θ．
由AB=40（米），BC=30（米），四邊形ABCD為矩形，得DC=40（米），
因此，EF=EB+BF=40sinθ+30cosθ（米），
因此y=40sinθ+30cosθ（0°＜θ＜90°）；
（2）SEFGH=EF•FG=1200sin2θ+1200cos2θ+2500sinθcosθ
=1200+1250sin2θ，（0°＜θ＜90°）．
因此θ=45°時(shí)，S_EFGH取到最大值，最大值為2450．
因此，矩形區(qū)域EFGH的面積的最大值為2450平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想方法，考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，正確將y表示成θ的函數(shù)是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．