Question

已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₄，S₂，S₃成等差數(shù)列，且a₂+a₃+a₄=-18．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)n，使得S_n≥2014？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）直接由題意列方程組求出數(shù)列的首項(xiàng)和公比，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求；
（Ⅱ）求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，由S_n≥2014求得滿足條件的n的值，則n的集合可求．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得

S2-S4=S3-S2 a2+a3+a4=-18

，即

-a1q2-a1q2=a1q2 a1q(1+q+q2)=-18

，
解得

a1=3 q=-2

．
故an=3×(-2)n-1；
（Ⅱ）Sn=

3[1-(-2)n]

1-(-2)

=1-(-2)n．
令S_n≥2014，即1-（-2）ⁿ≥2014，也就是（-2）ⁿ≤-2013．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，上式不成立；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由-2ⁿ≤-2013，得2ⁿ≥2013，
∴n≥11．
綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為{n|n=2k+1，k∈N^*，k≥5}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列不等式的解法，是中檔題．