Question

已知向量

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，cosA），

m

•

n

=sin2C，且A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對的角，
（Ⅰ）求角C的大�。�
（Ⅱ）若sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，且

CA

•（

AB

-

AC

）=18，求c邊的長及△ABC的面積．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：解三角形,平面向量及應用

分析：（1）利用數(shù)量積運算、兩角和差的正弦公式、倍角公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的定義、正弦余弦定理、數(shù)量積運算即可得出．

解答： 解：（1）

m

•

n

=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sin2C，
∴sinC=sin2C=2sinCcosC，
∴cosC=

1

2

，
∵C∈（0，π），∴C=

π

3

．
（2）∵sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理可知a+b=2c，
又∵

CA

•（

AB

-

AC

）=18，
∴

CA

•

CB

=18，∴abcos

π

3

=18，即ab=36．
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=4c²-108，
∴c²=36，解得c=6．
∴S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×36×

3

2

=9

3

．

點評：本題考查了數(shù)量積運算、兩角和差的正弦公式、倍角公式、等差數(shù)列的定義、正弦余弦定理、三角形的面積計算公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．