Question

在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足

3

a-2bsinA=0．
（1）求角B的大��；
（2）當(dāng)△ABC的外接圓的面積為4π時(shí)，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由已知及根據(jù)正弦定理可得：

3

sinA-2sinBsinA=0，由sinA≠0，解得sinB=

3

2

，又B為銳角，即可求B．
（2）設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，由πR²=4π，可求R，進(jìn)而可求b，由余弦定理可得ac≤12，由三角形面積公式即可求△ABC面積的最大值．

解答： 解：（1）由

3

a-2bsinA=0．根據(jù)正弦定理可得：

3

sinA-2sinBsinA=0…3分
因?yàn)閟inA≠0，所以sinB=

3

2

，又B為銳角，則B=

π

3

…6分
（2）設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，則πR²=4π，所以R=2，
b=2RsinB=4×

3

2

=2

3

…8分
由余弦定理可得：12=a²+c²-2ac•

1

2

，所以12=a²+c²-ac≥ac，即ac≤12
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2

3

時(shí)，ac取得最大值…10分
此時(shí)S_△ABC=

1

2

acsinB≤

1

2

×12×

3

2

=3

3

…13分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．