Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）． （Ⅰ）已知x∈[0，1]
（i）若a=b=1，求函數(shù)f（x）的值域；
（ii）若函數(shù)f（x）的值域為[0，1]，求a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)|x|≥2時，恒有f（x）≥0，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，求a2+b2的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（i），由已知，得f（x）=x2+x+1=（x+ ）2+ ，

又x∈[0，1]，

∴f（x）∈[1，3]，

∴函數(shù)f（x）的值域的值域為[1，3]，

（ii）函數(shù)y=f（x）的對稱軸方程為x=﹣

①當(dāng)﹣ ≤0時，即a≥0時，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)性遞增，可得 ，解得a=b=0，

②當(dāng)﹣ ≥1時，即a≤﹣2時，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)性遞減，可得 ，解得a=﹣2，b=1，

③0＜﹣ ＜ 時，即﹣1＜a＜0時，

，解得a=﹣4，b=4，或a=b=0（舍去），

④當(dāng) ≤﹣ ＜1，即﹣2＜a≤﹣1時， ，解得a=±2，b=1，舍去，

綜上所述a=b=0，或a=﹣2，b=1

（Ⅱ）由題意函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值只能在閉端點取得，

故有f（2）≤f（3）=1，從而a≥﹣5且b=﹣3a﹣8．

①若f（x）=0有實根，則△=a2﹣4b≥0，

在區(qū)間[﹣2，2]有 即 ，將b=3a﹣8代入，整理得 即a=﹣4，這時b=4，且△=0．

②若f（x）=0無實根，則△=a2﹣4b＜0，將b=﹣3a﹣8代入解得﹣8＜a＜﹣4．

綜上﹣5≤a≤﹣4．

所以a2+b2=a2+（﹣3a﹣8）2=10a2+48a+64，在[﹣5，﹣4]單調(diào)遞減，

故（a2+b2）min=32，（a2+b2）max=74．

【解析】（Ⅰ）（i）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域，（ii）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論即可求出，（Ⅱ）因為若|x|≥2時，f（x）≥0，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值只能在閉端點取得，故有f（2）≤f（3）=1，從而a≥﹣5且b=﹣3a﹣8．在分類討論基礎(chǔ)上，將以上關(guān)系變?yōu)椴坏仁浇M，消去c可得b的取值范圍，最后將a2+b2轉(zhuǎn)化為a的函數(shù)，求其值域可得a2+b2的最大值和最小值．
【考點精析】掌握二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時在上遞減，當(dāng)時，；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．