Question

如圖，已知底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，△ABC是邊長為2的正三角形，AP=BP=

2

2

PC=

2

，且N為線段AC的中點(diǎn)，M為側(cè)棱PB的中點(diǎn)，
（1）求證：NM∥平面PAD；
（2）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（3）求直線DP和平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)BD，由四邊形ABCD為菱形，得對(duì)角形AC與BD交于點(diǎn)N，MN∥PD，由此能證明MN∥平面PAD．
（2）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OC，由勾股定理得PO⊥OC，從而PO⊥平面ABCD，由此能證明平面PAB⊥平面ABCD．
（3）以O(shè)C為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線DP和平面PAC所成角的正弦值．

解答： （1）證明：連結(jié)BD，∵四邊形ABCD為菱形，
∴對(duì)角形AC與BD交于點(diǎn)N，連結(jié)MN，
∵N為線段AC的中點(diǎn)，M為側(cè)棱PB的中點(diǎn)，
∴MN∥PD，
∵M(jìn)N不包含于平面PAD，PD?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）證明：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OC，
∵PA=PB，PO⊥AB，△POC中，OC=

3

，OP=1，PC=2，
∴OC²+OP²=PC²，∴PO⊥OC，又OC∩AB=O，
∴PO⊥平面ABCD，又PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．
（3）解：如圖，以O(shè)C為x軸，OB為y軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，-1，0），C（

3

，0，0），P（0，0，1），）D（

3

，-2，0），
設(shè)平面PAC的法向量

n

=(x，y，z)，

PA

=(0，-1，-1)，

PC

=(

3

，0，-1)，

n • PN =-y-z=0 n • PC = 3 x-z=0

，取x=1，得

n

=(1，-

3

，

3

)，
又

DP

=(-

3

，2，1)，
設(shè)直線DP和平面PAC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

DP

，

n

＞|
=

|- 3 -2 3 + 3 |

7 •2 2

=

42

14

．
∴直線DP和平面PAC所成角的正弦值為

42

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．