Question

若對任意x∈A，y∈B，（A、B⊆R）有唯一確定的f（x，y）與之對應，稱f（x，y）為關于x、y的二元函數(shù)，現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)f（x，y）為關于實數(shù)x、y的“廣義距離”：
（1）非負性：f（x，y）≥0，當且僅當x=y=0時取等號；
（2）對稱性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）對任意的實數(shù)Z均成立；
現(xiàn)在給出四個二元函數(shù)：
①f（x，y）=x²+y²；
②f（x，y）=（x-y）²；
③f（x，y）=

x2+y2-xy

；
④f（x，y）=sin（x-y）；
能夠稱為關于x、y的“廣義距離”的函數(shù)的所有序號是

 

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：

分析：利用新定義的三個條件，若有一個不滿足，即不是“關于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)”．分別進行判斷即可得到結論．

解答： 解：①對于函數(shù)f（x，y）=x²+y²：滿足非負性：f（x，y）≥0，當且僅當x=y=0時取等號；滿足對稱性：f（x，y）=f（y，x）；
∵f（x，z）+f（z，y）=x²+z²+z²+y²≥x²+y²=f（x，y）對任意的實數(shù)z均成立，因此滿足三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）．可知f（x，y）能夠成為關于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)．
②f（x，y）=（x-y）²≥0，但是不僅x=y=0時取等號，x=y≠0也成立，因此不滿足新定義：關于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)；
③f（x，y）=

x2+y2-xy

：滿足非負性：f（x，y）≥0，當且僅當x=y=0時取等號；滿足對稱性：f（x，y）=f（y，x）；
④同樣f（x，y）=sin（x-y），不滿足f（x，y）=f（y，x），∴④不滿足對稱性．
綜上可知：只有①③滿足新定義，能夠成為關于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)．
故答案為：①③．

點評：本題主要考查新定義的應用，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別進行判斷，正確理解題意是解決本題的關鍵．