Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為

1

2

，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)（0，

3

），
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)P（2，1）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B滿足

PA

•

PB

=

5

4

，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓C的離心率為

1

2

，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)（0，

3

），建立方程，求出幾何量，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)方程為y=k（x-2）+1，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

PA

•

PB

=

5

4

，建立方程，即可求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意得b=

3

，由

c

a

=

1

2

得a=2，c=1，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）若存在過點(diǎn)P（2，1）的直線l滿足條件，則l的斜率存在．
設(shè)方程為y=k（x-2）+1，代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由△=32（6k+3）＞0，可得k＞-

1

2

且x₁+x₂=

8k(2k-1)

3+4k2

，x₁x₂=

16k2-16k-8

3+4k2

∵

PA

•

PB

=

5

4

，
∴（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=[x₁x₂-4（x₁+x₂）+4]（1+k²）=

5

4

代入整理可得k²=

1

4

，
∵k＞-

1

2

，∴k=

1

2

，
∴存在過點(diǎn)P（2，1）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B滿足

PA

•

PB

=

5

4

，其方程為y=

1

2

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．