Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是以AC為直徑的圓的內(nèi)接四邊形，AC⊥BD，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，∠BAC=60°，PD⊥平面ABC．
（1）求證：BF⊥CD；
（2）若平面PAB與平面PCD的夾角為45°，AC=2，求PD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD=O，AO=x，由已知得AB=2x，OC=3x，OB=

3

x，BC=2

3

x，BD=2

3

x，取DC中點(diǎn)E，連結(jié)EF，BE，由已知得EF⊥DC，BE⊥DC，由此能證明BF⊥CD．
（2）設(shè)P（0，0，t），t＞0，求出平面PAB的法向量

n

=（1，-

3

3

，

1

t

），平面PCD的法向量

m

=（1，0，0），由此利用平面PAB與平面PCD的夾角為45°，能求出PD=

6

3

．

解答： （1）證明：∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是以AC為直徑的圓的內(nèi)接四邊形，
∴DA⊥DC，AB⊥BC，∵PD⊥平面ABC．
∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD=O，AO=x，
∵AC⊥BD，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，∠BAC=60°，
∴AB=2x，OC=3x，OB=

3

x，BC=2

3

x，
設(shè)AC中點(diǎn)為H，則HO=2x-x=x，DH=2x，
∴DO=

DH2-HO2

=

3

x，∴BD=2

3

x，∴BD=BC，
取DC中點(diǎn)E，連結(jié)EF，BE，
∵F中PC中點(diǎn)，PD⊥DC，∴EF⊥DC，BE⊥DC，
又BE∩EF=E，∴DC⊥平面BEF，
又BF?平面BEF，∴BF⊥CD．
（2）解：∵AC=2，∴AB=1，BD=BC=

3

，AD=1，
∴A（1，0，0），B（

3

2

，

3

2

，0），設(shè)P（0，0，t），t＞0
則

PA

=（1，0，-t），

PB

=（

3

2

，

3

2

，-t），
設(shè)平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • PA =x-tz=0 n • PB = 3 2 x+ 3 2 y-tz=0

，取x=1，得

n

=（1，-

3

3

，

1

t

），
又平面PCD的法向量

m

=（1，0，0），平面PAB與平面PCD的夾角為45°，
∴cos45°=|cos＜

m

.

n

＞|=|

1

4 3 +t2

|，
由t＞0，解得t=

6

3

，
∴PD=

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面、平面與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，考查線線垂直、二面角的概念、求法等知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯推理能力，是中檔題．