Question

已知直線l：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．
（Ⅰ）求證：不論m為何實(shí)數(shù)，直線l恒過(guò)一定點(diǎn)；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（-1，-2）作一條直線l₁，使l₁夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被M點(diǎn)平分，求直線l₁的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系方程

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（Ⅰ）利用直線系列出方程組，即可得到直線l恒過(guò)一定點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)出直線l₁的方程，求出AB坐標(biāo)以及中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解直線方程．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）證明：∵m（x-2y-3）+2x+y+4=0
∴由題意得

x-2y-3=0 2x+y+4=0

∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)M（-1，-2）．     …（4分）
（Ⅱ）解：設(shè)所求直線l₁的方程為y+2=k（x+1），直線l₁與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，
則A(

2

k

-1，0)，B（0，k-2）．…（8分）
∵AB的中點(diǎn)為M，
∴

-2= 2 k -1 -4=k-2

  解得k=-2．…（10分）
∴所求直線l₁的方程為2x+y+4=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線系方程的應(yīng)用，直線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想及計(jì)算能力．