若數(shù)列的前項(xiàng)和是二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和．
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列 的通
項(xiàng)及其前項(xiàng)和；
（III）求證：．
，

解：（Ⅰ）由題意,                -----------------------------------------------------2分
,
兩式相減得．                --------------------3分
當(dāng)時(shí)，,
∴．            --------------------------------------------------4分
（Ⅱ）∵，
∴,
,
,
………
．
以上各式相加得
.
∵  ,
∴.       -----------------------------------------------------------------6分
∴．     -------------------------------------------------7分
∴,
∴.
∴.

=.
∴．  -------------------------------------------------------------9分
（3）=
=4+

=
．  -------------------------------------------12分
∵, ∴需證明，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)時(shí)，成立．
②假設(shè)時(shí)，命題成立即，
那么，當(dāng)時(shí)，成立．
由①、②可得，對(duì)于都有成立．
∴．
∴．---------------------------------------------------------------------------13分
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