Question

13．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且asinC=$\sqrt{3}$ccosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{13}$，c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知等式，結合sinC≠0，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求tanA=$\sqrt{3}$，結合A的范圍由特殊角的三角函數(shù)值即可得解A的值．
（2）由余弦定理可求b的值，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵asinC=$\sqrt{3}$ccosA，
由正弦定理得sinAsinC=$\sqrt{3}$sinCcosA，…（2分）
∵sinC≠0
∴sinA=$\sqrt{3}$cosA，即tanA=$\sqrt{3}$，
∵A∈（0°，180°），
∴A=60°，…（6分）
（2）∵A=60°，a=$\sqrt{13}$，c=3，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：13=b²+9-2×$b×3×\frac{1}{2}$，整理可得：b²-3b-4=0，
∴解得：b=4或-1（舍去），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×4×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，特殊角的三角函數(shù)值，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．