Question

在正四面體ABCD中，M，N分別是BC，AD中點(diǎn)．
（1）用反證法證明：直線AM與直線CN為異面直線；
（2）求異面直線AM與CN所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,異面直線的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）假設(shè)直線AM與直線CN不是異面直線．分別排除AM∥CN與AM和CN是相交線兩種情況，由此得到假設(shè)不成立，所以直線AM與直線CN為異面直線．
（2）連結(jié)DM，取DM中點(diǎn)O，連結(jié)CO，NO，則NO∥AM，所以∠CNO是異面直線AM與CN所成角，由此能求出異面直線AM與CN所成角的余弦值．

解答： 解：（1）假設(shè)直線AM與直線CN不是異面直線．
①若AM∥CN，則A，M，C，N四點(diǎn)共面于α，
∵直線BC上有兩點(diǎn)M，C都在面α內(nèi)，∴BC?α，
∵直線AD上有兩點(diǎn)A，M都在面α內(nèi)，∴AD?α，
∴ABCD是平面圖形，與已知正四面體ABCD相矛盾，
∴直線AM和CN不是平行線．
②若AM和CN是相交線，交點(diǎn)為E，
∵AM?平面ABC，CN?平面ADC，
∴點(diǎn)E是平面ABC和平面ADC的公共點(diǎn)，
∴點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，
與已知條件M是BC中點(diǎn)矛盾，
∴AM和CN不是相交線．
∴假設(shè)不成立，
∴直線AM與直線CN為異面直線．
（2）連結(jié)DM，取DM中點(diǎn)O，連結(jié)CO，NO，
則NO∥AM，∴∠CNO是異面直線AM與CN所成角，
設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則CN=AM=DM=

a2-( 1 2 a

)2=

3

2

a，
∴ON=

1

2

AM=

3

4

a，CO=

( 1 2 a)2+( 3 4 a)2

=

7

4

a，
∴cos∠CNO=

( 3 2 a)2+( 3 4 a)2-( 7 4 a)2

2× 3 2 a× 3 4 a

=

2

3

．
∴異面直線AM與CN所成角的余弦值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．