Question

12．已知命題p：?x₀∈[0，2]，log₂（x₀+2）＜2m；命題q：向量$\overrightarrow a=（1，m）$與向量$\overrightarrow b=（1，-3m）$的夾角為銳角．
（I）若命題q為真命題，求實數m的取值范圍；
（II）若（￢p）∧q為真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）若向量$\overrightarrow a$與向量$\overrightarrow b$夾角為銳角，則滿足：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0\\ m+3m≠0\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）令f（x）=log₂（x+2），則f（x）在x∈[0，2]上是增函數．故當x₀∈[0，2]時，f（x₀）≥f（0）；則當命題p為假時$m≤\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：（I）若向量$\overrightarrow a$與向量$\overrightarrow b$夾角為銳角，則滿足：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0\\ m+3m≠0\end{array}\right.$…（2分）
即$\left\{\begin{array}{l}1-3{m^2}＞0\\ m≠0\end{array}\right.$
所以當q為真時，有：$m∈（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0）∪（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$…（4分）
（II）令f（x）=log₂（x+2），則f（x）在x∈[0，2]上是增函數．
故當x₀∈[0，2]時，f（x₀）≥f（0）=1，
即$m＞\frac{1}{2}$…（6分）
則當命題p為假時$m≤\frac{1}{2}$…（7分）
若（?p）∧q為真，則?p為真且q為真．…（8分）
從而$\left\{\begin{array}{l}m≤\frac{1}{2}\\-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜0或0＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$…（10分）
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜0$或$0＜m≤\frac{1}{2}$
∴實數m的取值范圍為：$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0）∪（0，\frac{1}{2}]$…（12分）

點評 本題考查了向量夾角公式、函數的單調性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．