Question

17．在正四棱錐S-ABCD中，O為頂點(diǎn)S在底面的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO=OD，則直線BC與平面PAC所成的角是（　　）

• A． 75°
• B． 60°
• C． 45°
• D． 30°

Answer 1

分析 由題意由于圖中已有了兩兩垂直的三條直線，所以可以建立空間直角坐標(biāo)系，先準(zhǔn)確寫出個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用線面角和線與平面的法向量所構(gòu)成的兩向量的夾角之間的關(guān)系即可求解．

解答 解：如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a，
則A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，0，0），P（0，-$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$）．
則$\overrightarrow{CA}$=（2a，0，0），$\overrightarrow{PA}$=（-a，-$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$）．
設(shè)平面PAC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{2ax=0}\\{-ax-\frac{a}{2}y+\frac{a}{2}z=0}\end{array}\right.$，
可求得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
則cos＜$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1}{2}$．
∴＜$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{n}$＞=60°，
∴直線BC與平面PAC所成的角為90°-60°=30°．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 此題重點(diǎn)考查了直線與平面所成的角的概念及利用空間向量的方法求解空間中的直線與平面的夾角．