Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），且當(dāng)x₂＞x₁≥1時(shí)，總有[f（x₂）-f（x₁）]÷（x₂-x₁）＞0恒成立，則f（2^x）與f（3^x）的大小關(guān)系為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可判斷f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；再由冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷2^x，3^x的大小關(guān)系，再由函數(shù)的對(duì)稱性化簡(jiǎn)即可．

解答： 解：∵x₂＞x₁≥1，
∴x₂-x₁＞0，
又∵[f（x₂）-f（x₁）]÷（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0；
故f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
若x=0，則2^x=3^x=1；f（2^x）=f（3^x）；
若x＞0，則1＜2^x＜3^x，
則 f（2^x）＜f（3^x）；
若x＜0，則0＜3^x＜2^x＜1；
則2-3^x＞2-2^x＞1；
故f（2-3^x）＞f（2-2^x）；
而f（1+x）=f（1-x），
故f（2-3^x）=f（3^x），f（2-2^x）=f（2^x）；
故f（2^x）＜f（3^x）；
綜上所述，f（2^x）≤f（3^x）；
故答案為：f（2^x）≤f（3^x）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．