Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（

π

2

+x）滿足f(-

π

3

)=f（0）．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）先化簡(jiǎn)f（x）根據(jù)已知求出a的值，從而得到f（x）的解析式，即可求出單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)已知，可求出角B的值，從而可確定A的取值范圍，即可求f（A）的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（

π

2

+x）
=

a

2

sin2x-cos2x，
由f(-

π

3

)=f（0），解得a=2

3

故f（x）=

a

2

sin2x-cos2x=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
故單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z
（2）由

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，可解得2sinAcosB=sinA，
∵sinA≠0，∴2cosB=1，即cosB=

1

2

，又0＜B＜π
∴B=

π

3

，又A+

π

3

＞

π

2

，
∴

π

6

＜A＜

π

2

，
則f（A）=2sin（2A-

π

6

），

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
∴2×

1

2

＜f(A)＜1×2，即f（A）∈（1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．