如圖,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲線C:y2=3x(y≥0)上的n個點,點Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x軸的正半軸上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐標(biāo)原點).

 (1) 寫出a1,a2,a3;

(2) 求出點An(an,0)(n∈N+)的橫坐標(biāo)an關(guān)于n的表達式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(第5題)


 (1) a1=2,a2=6,a3=12.

(2) 依題意,得xn=,yn=·,

而=3·xn,所以=(an+),即(an-)2=2(+an).

由(1)可猜想:an=n(n+1)(n∈N+).

下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明:

①當(dāng)n=1時,命題顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,命題成立,即有ak=k(k+1),

則當(dāng)n=k+1時,由歸納假設(shè)及(-ak)2=2(ak+),

即-2(k2+k+1)+[k(k-1)]·[(k+1)(k+2)]=0,

解得=(k+1)(k+2)或ak+1=k(k-1).因為=k(k-1)<ak不合題意,所以舍去,

即當(dāng)n=k+1時,命題成立.

由①,②可知,命題an=n(n+1)(n∈N+)成立.


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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


 設(shè)向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中0<α<β<π,若|2a+b|=|a-2b|,則β-α=　　　　. 

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 給出下列命題:

①若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,則這兩個平面相互垂直;

②若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行,則這兩個平面相互平行;

③若兩條平行直線中的一條垂直于直線m,則另一條直線也垂直于直線m;

④若兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.

其中真命題為　　　　.(填序號)

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在等差數(shù)列{an}中,an>0,且a1+a2+…+a10=30,則a5·a6的最大值等于　　　　. 

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已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且點(n,Sn)在函數(shù)y=2x+1-2的圖象上.

(1) 求數(shù)列{an}的通項公式;

(2) 設(shè)數(shù)列{bn}滿足:b1=0,bn+1+bn=an(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和公式;

(3) 在第(2)問的條件下,若對于任意的n∈N*,不等式bn<λbn+1恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.

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若直線l:ax+by=1與圓C:x2+y2=1相交,則點P(a,b)與圓C的位置關(guān)系是　　　　. 

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已知圓x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圓心為C,直線l:y=x+m.

(1) 若m=4,求直線l被圓C所截得弦長的最大值;

(2) 若直線l是圓心C下方的切線,當(dāng)a在(0,4]上變化時,求m的取值范圍.

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線x2=2py(p>0)上縱坐標(biāo)為1的一點到焦點的距離為3,則焦點到準(zhǔn)線的距離為　　　　. 

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設(shè)全集是實數(shù)集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，則(∁RM)∩N＝________.

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