分析 (1)根據(jù)f(x)的解析式,求出a的值,從而求出g(x)的解析式,判斷函數(shù)的奇偶性即可;
(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可;
(3)根據(jù)1+ax∈(1,+∞),從而得到21+ax∈(0,2),求出g(x)的值域即可.
解答 解:(1)∵f(x)=3x,
∴f(a+2)=3a+2=81,解得a=2.
∵g(x)=1−2x1+2x(x∈R),
∴g(−x)=1−2−x1+2−x=2x−12x+1=−g(x),
即函數(shù)g(x)是奇函數(shù).
證明:(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,
則g(x1)−g(x2)=1−ax11+ax2−1−ax21+ax2
=(1−ax1)(1+ax2)−(1−ax2)(1+ax1)(1+ax1)(1+ax2)=2(ax2−ax1)(1+ax1)(1+ax2).
∵x1<x2,a>1,
∴ax2−ax1>0,(1+ax1)(1+ax2)>0,
∴g(x1)-g(x2)>0,
即g(x1)>g(x2),
故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減.
解:(3)∵g(x)=1−ax1+ax=21+ax−1,x∈R,
∴1+ax∈(1,+∞),
從而21+ax∈(0,2),
∴g(x)∈(-1,1)
故函數(shù)g(x)的值域?yàn)椋?1,1)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性問題,考查定義判斷函數(shù)的單調(diào)性,考查求函數(shù)的值域問題,是一道中檔題.
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