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20.已知函數(shù)f(x)=3x,g(x)=1ax1+ax(a>1).
(1)若f(a+2)=81,求實(shí)數(shù)a的值,并判斷函數(shù)g(x)的奇偶性;
(2)用定義證明:函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減;
(3)求函數(shù)g(x)的值域.

分析 (1)根據(jù)f(x)的解析式,求出a的值,從而求出g(x)的解析式,判斷函數(shù)的奇偶性即可;
(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可;
(3)根據(jù)1+ax∈(1,+∞),從而得到21+ax02,求出g(x)的值域即可.

解答 解:(1)∵f(x)=3x,
∴f(a+2)=3a+2=81,解得a=2.
gx=12x1+2x(x∈R),
gx=12x1+2x=2x12x+1=gx,
即函數(shù)g(x)是奇函數(shù).
證明:(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2
gx1gx2=1ax11+ax21ax21+ax2
=1ax11+ax21ax21+ax11+ax11+ax2=2ax2ax11+ax11+ax2
∵x1<x2,a>1,
ax2ax101+ax11+ax20,
∴g(x1)-g(x2)>0,
即g(x1)>g(x2),
故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減.
解:(3)∵gx=1ax1+ax=21+ax1,x∈R,
∴1+ax∈(1,+∞),
從而21+ax02,
∴g(x)∈(-1,1)
故函數(shù)g(x)的值域?yàn)椋?1,1)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性問題,考查定義判斷函數(shù)的單調(diào)性,考查求函數(shù)的值域問題,是一道中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.1000件B.1200件C.1400件D.1600件

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(1)若A⊆B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若A∩B=∅,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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5.給出下列命題:
①函數(shù)y=sin(x+π4)在閉區(qū)間[-π2,π2]上是增函數(shù);
②直線x=π8是函數(shù)y=sin(2x+5π4)圖象的一條對(duì)稱軸;
③要得到函數(shù)y=sin2x的圖象,需將函數(shù)y=cos(2x-π3)的圖象向右平移π12單位;
④函數(shù)f(x)=Asin(x+φ),(A>0)在x=π4處取到最小值,則y=f(3π4-x)是奇函數(shù).
其中,正確的命題的序號(hào)是:②③④.

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12.如圖所示,在三棱錐PABQ中,D,C,E,F(xiàn)分別是AQ,BQ,AP,BP的中點(diǎn),PD與EQ交于點(diǎn)G,PC與FQ交于點(diǎn)H,連接GH.求證:
(1)求證:AB∥GH.
(2)若三棱錐P-ABQ為正四面體,且棱長(zhǎng)為2,求多面體ADGE-BCHF的體積.

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9.設(shè)M={α|α=k•90°,k∈Z}∪{α|α=k•180°+45°,k∈Z},N={α|α=k•45°,k∈Z},則(  )
A.M⊆NB.M?NC.M=ND.M∩N=Φ

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10.如圖,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,點(diǎn)O為AC中點(diǎn),D是BC上一點(diǎn),OP⊥底面ABC,BC⊥面POD.
(Ⅰ)求證:點(diǎn)D為BC中點(diǎn);
(Ⅱ)當(dāng)k取何值時(shí),O在平面PBC內(nèi)的射影恰好是PD的中點(diǎn).

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