Question

16．已知定圓⊙F₁：x²+y²+4x+3=0，⊙F₂：x²+y²-4x-5=0，動(dòng)圓M與圓F₁、F₂都外切或都內(nèi)切．
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡曲線C的方程．
（2）過(guò)點(diǎn)F₁的直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，與⊙F₂交于P、Q兩點(diǎn)，若|PQ|=2，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用定圓⊙F₁：x²+y²+4x+3=0，⊙F₂：x²+y²-4x-5=0，動(dòng)圓M與圓F₁、F₂都外切或都內(nèi)切，結(jié)合雙曲線的定義，即可得出軌跡方程．
（2）求出直線方程，即可求|AB|．

解答 解：（1）⊙F₁：x²+y²+4x+3=0和，⊙F₂：x²+y²-4x-5=0，
即圓F₁：（x+2）²+y²=1和F₂：（x-2）²+y²=9．
設(shè)動(dòng)圓的圓心P（x，y），半徑為R，
由題意，與兩已知圓都外切或都內(nèi)切，有|PC₁|=R+3，|PC₂|=R+1，|PC₁|-|PC₂|=2＜4，
∴點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支，方程為${x^2}-\frac{y^2}{3}=1（{x＜-1}）$；
（2）令直線l：x=my-2，從而${d_{{F_2}→1}}=\frac{4}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$，
∴9=$\frac{16}{1+{m}^{2}}$+1，
根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)m=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，可得2x²-4x-7=0，
∴|AB|=$\sqrt{2}•\sqrt{4+4•\frac{7}{2}}$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．