Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-log_ax（a＞0），若使f（x）恒有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)y=a^x與y=log_ax關(guān)于y=x對(duì)稱，只需要討論與y=x有兩個(gè)解即可，構(gòu)造函數(shù)h（x）=a^x-x，只須h（x）的最小值小于0，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=a^x-log_ax（a＞0），使f（x）恒有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）=a^x-log_ax=0，
即a^x=log_ax，
由于函數(shù)y=a^x與y=log_ax關(guān)于y=x對(duì)稱，
只需要討論與y=x有兩個(gè)解即可，
令h（x）=a^x-x，則函數(shù)h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)h（x）為減函數(shù)，至多有一個(gè)零點(diǎn)不滿足要求，
當(dāng)a＞1時(shí)，令h′（x）=a^xlna-1=0，則x=loga

1

lna

，
當(dāng)0＜x＜loga

1

lna

時(shí)，h′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)h（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x＞loga

1

lna

時(shí)，h′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)h（x）為增函數(shù)；
故當(dāng)x=loga

1

lna

時(shí)，函數(shù)h（x）取最小值，
若函數(shù)h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則h（loga

1

lna

）＜0，
即aloga

1

lna

＜loga

1

lna

即

1

lna

=log_ae＜loga

1

lna

，
即e＜

1

lna

，
即0＜lna＜

1

e

，
即1＜a＜e

1

e

，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，e

1

e

），
故答案為：（1，e

1

e

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，反函數(shù)，導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)等的綜合應(yīng)用，運(yùn)算量大，綜合性可，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．