Question

某集團為了獲得更大的利潤，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經調查，每年投入廣告費t（100萬元）可增加銷售額約為-t²+5t（100萬元）（0≤t≤3）．
（1）若該集團將當年的廣告費控制在300萬元以內，則應投入多少廣告費，才能使集團由廣告費而產生的收益最大？
（2）現在該集團準備投入300萬元，分別用于廣告促銷和技術改造．經預算，每投入技術改造費x（100萬元），可增加的銷售額約為-

1

3

x³+x²+3x（100萬元）．請設計一個資金分配方案，使該集團由這兩項共同產生的收益最大．

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）設投入廣告費t（100萬元）后由此增加的收益為f（t）（100萬元），列出函數的關系式，利用二次函數的最值求解即可．
（2）設用于技術改造的資金為100x萬元，則用于廣告的費用為100（3-x）萬元，寫出這兩項所增加的收益表達式，通過導數判斷函數的極值點，求出函數的最值．

解答： 解：（1）設投入廣告費t（100萬元）后由此增加的收益為f（t）（100萬元），
則f（t）=（-t²+5t）-t=-t²+4t=-（t-2）²+4（0≤t≤3），
∴當t=2時，f（t）_max=4．
即集團投入200萬元廣告費，才能使由廣告費而產生的收益最大．-----------（6分）
（2）設用于技術改造的資金為100x萬元，則用于廣告的費用為100（3-x）萬元，則由這兩項所增加的收益為
g（x）=（-

1

3

x³+x²+3x）+[-（3-x）²+5（3-x）]-3=-

1

3

x³+4x+3（0≤t≤3）．
對g（x）求導，得g′（x）=-x²+4，令g′（x）=-x²+4=0，得x=2或x=-2（舍去）．
當0≤x＜2時，g′（x）＞0，即g（x）在[0，2）上單調遞增；
當2＜x≤3時，g′（x）＜0，即g（x）在（2，3]上單調遞減．
∴當x=2時，g（x）_max=g（2）=

25

3

．
故在300萬元資金中，200萬元用于技術改造，100萬元用于廣告促銷，使集團由此所產生的收益最大，最大收益為

2500

3

萬元．-----------12分

點評：本題考查函數在實際問題中的應用，二次函數的最值，以及利用導數求解函數的最值的方法，考查轉化思想的應用．