Question

【題目】已知拋物線(xiàn)，為其焦點(diǎn)，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交軸于點(diǎn)T，直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn)。

（1）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，且，求△AOB的面積；

（2）當(dāng)直線(xiàn)l與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，若點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)AT上，證明直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點(diǎn)為

【解析】

（1）利用，求得直線(xiàn)的斜率為，由此寫(xiě)出直線(xiàn)方程，代入拋物線(xiàn)方程求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得，用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出高，由此求得三角形的面積.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理.根據(jù)點(diǎn)斜式得出直線(xiàn)的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，然后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，可求得和的關(guān)系式，由此求得直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

設(shè)點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.

（1）因?yàn)?/span>，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，直線(xiàn)的斜率為.故直線(xiàn)的方程為，代入拋物線(xiàn)方程并化簡(jiǎn)得解得，代入直線(xiàn)方程得，所以.直線(xiàn)的一般式為，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，故.

（2）直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，理由如下：設(shè)直線(xiàn)的方程為代入拋物線(xiàn)方程并化簡(jiǎn)得，故.點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.根據(jù)點(diǎn)斜式，得到直線(xiàn)的方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入并化簡(jiǎn)得，將和的值代入并化簡(jiǎn)得，即，故直線(xiàn)的方程為，過(guò)定點(diǎn).