Question

過O極點引直線交圓ρ²+r²-2rρcosθ-a²=0（r＞a＞0）于P，Q兩點，在此直線上取一點R，使得

2

OR

=

1

OP

+

1

OQ

，求R點的軌跡的極坐標方程（r，a是常數）．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：把圓的極坐標方程化為直角坐標方程，設出直線的直角坐標方程，代入圓的方程，利用韋達定理及條件求得 x_R=

r2-a2

r

，再把它化為極坐標方程．

解答： 解：圓ρ²+r²-2rρcosθ-a²=0（r＞a＞0）化為直角坐標方程為 （x-r）²+y²=a²，
表示以（r，0）為圓心、半徑等于a的圓．
設直線的直角坐標方程設為y=kx，代入圓的方程化簡可得 （k²+1）x²-2rx+r²-a²=0，
利用韋達定理可得 x_P+x_Q=

2r

k2+1

，x_P•x_Q=

r2-a2

k2+1

．
再根據

2

OR

=

1

OP

+

1

OQ

，可得

2

xR

=

1

xP

+

1

xQ

=

xP+xQ

xP•xQ

=

2r

r2-a2

，
求得 x_R=

r2-a2

r

，再化為極坐標方程為 ρcosθ=

r2-a2

r

．

點評：本題主要考查點的極坐標與直角坐標的互化，一元二次方程根與系數的關系，屬于基礎題．