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15.已知函數(shù)f(x)=1x22-2x+cos2θ-3sinθ+2的值在x<2時(shí)恒正,則參數(shù)θ在(0,π)上的取值范圍是(0,\frac{π}{6})∪(\frac{5π}{6},π).

分析 利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值問題,結(jié)合三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

解答 解:若函數(shù)f(x)=\frac{1}{(x-2)^{2}}-2x+cos2θ-3sinθ+2的值在x<2時(shí)恒正,
即當(dāng)x<2時(shí),f(x)=\frac{1}{(x-2)^{2}}-2x+cos2θ-3sinθ+2>0恒成立,
\frac{1}{(x-2)^{2}}-2x>-cos2θ+3sinθ-2恒成立,
設(shè)g(x)=\frac{1}{(x-2)^{2}}-2x,
則g′(x)=-\frac{2}{(x-2)^{3}}-2=-2•\frac{1+(x-2)^{3}}{(x-2)^{3}}
當(dāng)x<2時(shí),x-2<0,
則由g′(x)=0得1+(x-2)3=0,得(x-2)3=-1,
即x-2=-1,則x=1,
當(dāng)1<x<2時(shí),g′(x)>0,當(dāng)x<1時(shí),g′(x)<0,
即當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)g(x)取得極小值同時(shí)也是最小值g(1)=1-2=-1,
即-1>-cos2θ+3sinθ-2恒成立,
則cos2θ-3sinθ+1>0,
即1-2sin2θ-3sinθ+1>0,
則2sin2θ+3sinθ-2<0,
得(sinθ+2)(2sinθ-1)<0,
得-2<sinθ<\frac{1}{2},
∵θ∈(0,π),
∴θ∈(0,\frac{π}{6})∪(\frac{5π}{6},π),
故答案為:(0,\frac{π}{6})∪(\frac{5π}{6},π)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題,利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值,構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),有一定的難度.

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