Question

如圖，圓O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，已AC=3，BC=4，AB=5，過(guò)圓心O的直線l交圓O于P、Q兩點(diǎn)，則

BP

•

CQ

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，與直線BC平行的直線為x軸，與直線AC平行的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，運(yùn)用面積相等可得r=1，設(shè)出圓的方程，求得交點(diǎn)P，Q，討論直線的斜率k不存在和大于0，小于0的情況，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示和不等式的性質(zhì)，計(jì)算即可得到范圍．

解答： 解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，與直線BC平行的直線為x軸，
與直線AC平行的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，
運(yùn)用面積相等可得，

1

2

×3×4=

1

2

r（3+4+5），
解得r=1，
則B（-3，-1），C（1，-1），
即有圓O：x²+y²=1，
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，即有P（0，1），Q（0，-1），

BP

=（3，3），

CQ

=（-1，0），即有

BP

•

CQ

=-3．
當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx，（k＜0），
代入圓的方程可得P（-

1

1+K2

，-

k

1+k2

），Q（

1

1+K2

，

k

1+k2

），
即有

BP

=（3-

1

1+K2

，1-

k

1+k2

），

CQ

=（

1

1+K2

-1，

k

1+k2

+1），
則有

BP

•

CQ

=（3-

1

1+K2

）（

1

1+K2

-1）+（1-

k

1+k2

）（

k

1+k2

+1）
=-3+

4

1+k2

，
由1+k²≥1可得0＜

4

1+k2

≤4，
則有-3＜-3+

4

1+k2

≤1．
同理當(dāng)k＞0時(shí)，求得P（

1

1+K2

，

k

1+k2

），Q（-

1

1+K2

，-

k

1+k2

），
有

BP

•

CQ

═-3-

4

1+k2

，
可得-7≤-3+

4

1+k2

＜-3．．
綜上可得，

BP

•

CQ

的取值范圍是[-7，1]．
故答案為：[-7，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)考查直線和圓聯(lián)立求交點(diǎn)，考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．