Question

如圖，已知圓錐底半徑為1，高VO=2，過VO的中點M作一個與圓錐底面成θ角且tanθ=3的平面，得到截口曲線．數(shù)學家Germinal Dandelin已經證明該曲線是橢圓，求此橢圓的離心率．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：可作橢圓面在底面上的射影，即為圓面，設半徑為r，由于橢圓面與圓面所成的角為θ，則有∠MAB=θ，設AM=a，則有2acosθ=2r，再由tanθ=3，求得cosθ，解得a，再由b=r，求出c，運用離心率公式，即可得到．

解答： 解：過VO的中點M作一個與圓錐底面成θ角且tanθ=3的平面，
其截口是一個橢圓，
可作橢圓面在底面上的射影，即為圓面，
設半徑為r，由于橢圓面與圓面所成的角為θ，
則有∠MAB=θ，設AM=a，則有2acosθ=2r，又tanθ=3，
由

sinθ

cosθ

=3，sin²θ+cos²θ=1，得cosθ=

1

10

，
即有a=

10

r，又b=r，則c=

a2-b2

=3r，
則離心率為e=

c

a

=

3 10

10

．

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，注意轉化思想，確定橢圓的a，b是解題的關鍵，屬于中檔題．