Question

如圖，直線PA，QC都與正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC與BD相交于點O，E在線段PD上且CE∥平面PBQ
（1）求證：OP⊥平面QBD；
（2）求二面角E-BQ-P的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連結OQ，由已知得BD⊥OP，OP⊥OQ，由此能證明OP⊥平面QBD．
（2）以A為原點，AB為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-BQ-P的余弦值．

解答： （1）證明：連結OQ，由題意知PA∥QC，∴P，A，Q，C共面，
∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PACQ，∴BD⊥OP，
由題意得PA=2，AO=OC=

2

，OP=

6

，QC=1，OQ=

3

，
∴△PAO∽△OCQ，∴∠POA=∠OQC，
∵∠POA+∠OPA=90°，∴∠POA+∠COQ=90°，
∴OP⊥OQ，
∵OP⊥BD，OP⊥OQ，BD∩OQ=O，
∴OP⊥平面QBD．
（2）解：以A為原點，AB為x軸，AB為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標系，
B（2，0，0），Q（2，2，1），P（0，0，2），

PB

=（2，0，-2），

PQ

=（2，2，-1），
設平面PBQ的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • PB =2x-2z=0 n • PQ =2x+2y-z=0

，取x=2，得

n

=（2，-1，2），
設

PE

=λ

ED

，則

PD

=

PE

+

ED

=（1+λ）

ED

=（0，2，-2），

ED

=

1

1+λ

(0，2，-2)，

CE

=

CD

+

DE

=(-2，

-2

1+λ

，

2

1+λ

)，
∵CE∥平面PBQ，

CE

與平面PBQ的法向量

n

=（2，-1，2）垂直，
∴

n

•

CE

=-4+

2

1+λ

+

4

1+λ

=0，解得λ=

1

2

，∴E（0，

2

3

，

4

3

），

BE

=(-2，

2

3

，

4

3

)，

BQ

=（0，2，1），
設平面BEQ的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • BE =-2a+ 2 3 b+ 4 3 c=0 m • BQ =2b+c=0

，取b=1，得

m

=（-1，1，-2），
設二面角E-BQ-P的平面角為θ，
cosθ=|

n

，

m

＞|=|

-2-2-4

9 • 6

|=

4 6

9

．
∴二面角E-BQ-P的余弦值為

4 6

9

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．