Question

已知數(shù)列{log₄a_n}是等差數(shù)列，log4a2=

3

2

，a1+a3=20．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{log₄a_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由{log₄a_n}是等差數(shù)列，可得log₄a₁+log₄a₃=2log₄a₂=3，求得a₁•a₃=64，又a₁+a₃=20，聯(lián)立兩式，求出a₁、a₃的值，然后分兩種情況求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，根據(jù)a₁、a₃的值分兩種情況求出數(shù)列{log₄a_n}的前n項和即可．

解答： 解：（1）∵{log₄a_n}是等差數(shù)列，∴l(xiāng)og₄a₁+log₄a₃=2log₄a₂=3，
∴a₁•a₃=64，
又∵a₁+a₃=20，聯(lián)立兩式，
解得：

a1=4 a3=16

或

a1=16 a3=4

；
當

a1=4 a3=16

時，d=log4a3-log4a2=2-

3

2

=

1

2

，
log4an=log4a1+(n-1)•

1

2

=

n+1

2

，
則an=2•2n；
當

a1=16 a3=4

時，d=log4a3-log4a2=1-

3

2

=-

1

2

，
log4an=log4a1+(n-1)•(-

1

2

)=

5-n

2

，
則an=25-n．
（2）設{log₄a_n}的前n項和為S_n
當

a1=4 a3=16

時，Sn=

n(a1+an)

2

=

n(1+ n+1 2 )

2

=

n(n+3)

4

；
當

a1=16 a3=4

時，Sn=

n(a1+an)

2

=

n(2+ 5-n 2 )

2

=

n(9-n)

4

．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應用，考查了數(shù)列的求和，屬于中檔題．