Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結論；
（Ⅱ）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求f（x₁+x₂）；
（Ⅲ）由點H（0，h）向f（x）引切線，切點分別為P，Q，當△PQH為正三角形時，求h的值．

Answer 1

解：（I）f（x）是偶函數(shù)，證明如下：
當x＞0 時，-x＜0，有：f（x）=x²+x-2
f（-x）=（-x）²-（-x）-2=x²+x-2=f（x）；
當x＜0 時，-x＞0，有：f（x）=x²-x-2
f（-x）=（-x）²+（-x）-2=x²-x-2=f（x）；
當x=0，也有f（-x）=f（x），
又函數(shù)的定義域為R，關于原點對稱，∴f（x）是偶函數(shù)；
（II）畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示，結合圖象及（I）中結論可知，
若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），則x₁和x₂關于原點O對稱，
從而x₁+x₂=0，∴f（x₁+x₂）=-2；
（III）如圖，根據(jù)對稱性可知，當△PQH為正三角形時，切線PH的傾斜角為60°，
∴其斜率k=，
當x＞0時，f（x）=x²+x-2，∴f′（x）=2x+1，
設P（m，n），則2m+1=，且m²+m-2=n，
解得：m=，n=-，
故切線PH的方程為：y+=（x-），令x=0得y=，
即h=．
分析：（I）由已知易判斷出函數(shù)的定義域為R，關于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關系，即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，進行判斷得到結論；
（II）畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示，結合圖象及（I）中結論可知，若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），則x₁和x₂關于原點O對稱，從而求出f（x₁+x₂）；
（III）如圖，根據(jù)對稱性可知，當△PQH為正三角形時，切線PH的傾斜角為60°，求出其斜率k，再結合導數(shù)幾何意義求出點P（m，n）的坐標，從而得出切線PH的方程，最后令x=0即可．
點評：本小題主要考查分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法、函數(shù)奇偶性的判斷、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．