Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-4x+2，函數(shù)g（x）=（

1

3

）^f（x）
（1）若f（2-x）=f（2+x），求f（x）的解析式；
（2）若g（x）有最大值9，求a的值，并求出g（x）的值域；
（3）已知a≤1，若函數(shù)y=f（x）-log₂

x

8

在區(qū)間[1，2]內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求得f（x）的對(duì)稱軸為x=2，從而解得a=1，故有所求f（x）=x²-4x+2．
（2）由已知可得：f（x）=ax²-4x+2有最小值-2，解得a=1，有f（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2≥-2，故可得函數(shù)g（x）=（

1

3

）^f（x）的值域．
（3）設(shè)r（x）=ax²-4x+5，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）則原命題等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)r（x）與s（x）的圖象在區(qū)間[1，2]內(nèi)有唯一交點(diǎn)，分情況討論：當(dāng)a=0時(shí)，有函數(shù)r（x）與s（x）的圖象在區(qū)間[1，2]內(nèi)有唯一交點(diǎn)，當(dāng)a＜0時(shí)，有-1≤a＜0，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，有0＜a≤1，綜上可得所求a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（2-x）=f（2+x），∴f（x）的對(duì)稱軸為x=2，
即-

4

2a

=2，即a=1．
∴所求f（x）=x²-4x+2．
（2）由已知：g（x）=（

1

3

）^f（x）有最大值9，
又y=(

1

3

)t為減函數(shù)，∴f（x）=ax²-4x+2有最小值-2
∴

a＞0 4a×2-42 4a =-2

  解得a=1…（8分）f（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2≥-2
∴函數(shù)g（x）=（

1

3

）^f（x）的值域?yàn)椋?，9]
（3）∵y=f（x）-log₂

x

8

=ax²-4x+5-log₂x
設(shè)r（x）=ax²-4x+5，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）
則原命題等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)r（x）與s（x）的圖象在區(qū)間[1，2]內(nèi)有唯一交點(diǎn)，
當(dāng)a=0時(shí)，r（x）=-4x+5在區(qū)間[1，2]內(nèi)為減函數(shù)，
s（x）=log₂x（x∈[1，2]）為增函數(shù)，且r（1）=1＞s（1）=0，r（2）=-3＜s（2）=1，
∴函數(shù)r（x）與s（x）的圖象在區(qū)間[1，2]內(nèi)有唯一交點(diǎn)，
當(dāng)a＜0時(shí)，r（x）圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=

2

a

＜0，
∴r（x）在區(qū)間[1，2]為減函數(shù)，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）為增函數(shù)，
則由

r(1)≥s(1) r(2)≤s(2)

⇒

a+1≥0 4a-3≤1

⇒-1≤a≤1，∴-1≤a＜0
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，r（x）圖象開口向上，對(duì)稱軸為x=

2

a

≥2，
∴r（x）在區(qū)間[1，2]內(nèi)為減函數(shù)，s（x）=log₂x（x∈[1，2]）為增函數(shù)，
則由

r(1)≥s(1) r(2)≤s(2)

⇒

a+1≥0 4a-3≤1

⇒-1≤a≤1，∴0＜a≤1
綜上得，所求a的取值范圍為[-1，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了函數(shù)解析式的求解及常用方法，函數(shù)的最值及其幾何意義，函數(shù)的零點(diǎn)的解法，屬于中檔題．